Question

已知二次函數f(x)＝ax²＋bx＋1(a＞0)，F(x)＝若f(－1)＝0，且對任意實數x均有f(x)≥0成立．
(1)求F(x)的表達式；
(2)當x∈[－2,2]時，g(x)＝f(x)－kx是單調函數，求k的取值范圍．

Answer 1

（1）F(x)＝（2）(－∞，－2]∪[6，＋∞)

(1)∵f(－1)＝0，∴a－b＋1＝0，∴b＝a＋1，
∴f(x)＝ax²＋(a＋1)x＋1.
∵f(x)≥0恒成立，
∴ 即
∴a＝1，從而b＝2，∴f(x)＝x²＋2x＋1，
∴F(x)＝
(2)由(1)知，g(x)＝x²＋2x＋1－kx＝x²＋(2－k)x＋1.
∵g(x)在[－2,2]上是單調函數，
∴≤－2或≥2，
解得k≤－2或k≥6.
所以k的取值范圍是(－∞，－2]∪[6，＋∞)