【題目】已知函數
， 
.
（Ⅰ）若
，求曲線
在點
處的切線方程；
（Ⅱ）當
時，函數
的兩個極值點為
， 
，且
.求證： 
.
【答案】(1) 
；(2)證明見解析.
【解析】試題分析：（1）對
求導數，求出
可得切線斜率，因為切點為
有，根據點斜式可得切線方程；（2）
在
上有兩個不等的實根，即
有兩個不等的實根
， 
，可得
，且
， 
，令
，利用導數研究函數的單調性，求其最小值，進而可得結論.
由
的關系，用
把
表示出來，求出
的表達式與取值范圍即可得到結論.
（Ⅰ）因為
，所以
， 
，于是有：
， 
，切點為
.
故切線方程為
.
（Ⅱ）因為函數
有兩個極值點，所以
在
上有兩個不等的實根，
即
有兩個不等的實根
， 
，可得
，且
，
因為
，則
，可得
.
， 
，
令
， 
， 
，
，又
， 
時， 
，
而
，故
在
上恒成立，
所以
在
上恒成立，
即
在
上單調遞減，
所以
，得證.
【方法點晴】本題主要考查利用導數求曲線切線以及利用導數研究函數的單調性、函數的極值以及不等式證明問題，屬于難題.求曲線切線方程的一般步驟是：（1）求出
在
處的導數，即
在點
出的切線斜率（當曲線
在
處的切線與
軸平行時，在 處導數不存在，切線方程為
）；（2）由點斜式求得切線方程
.
科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在直角坐標系xOy中，直線l過點P (3， 
)且傾斜角為
．在極坐標系(與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸)中，圓C的方程為
．
（Ⅰ）求直線l的一個參數方程和圓C的直角坐標方程；
（Ⅱ）設圓C與直線l交于點A，B，求
的值.
（2）已知函數
.
（Ⅰ）求函數
的最小值
；
（Ⅱ）若正實數
滿足
，且
對任意的正實數
恒成立，求
的取值范圍.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在
中， 
為直角， 
．沿
的中位線
，將平面
折起，使得
，得到四棱錐
．
（Ⅰ）求證： 
平面
；
（Ⅱ）求三棱錐
的體積；
（Ⅲ）
是棱
的中點，過
做平面
與平面
平行，設平面
截四棱錐
所得截面面積為
，試求
的值．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某商場舉行的“三色球”購物摸獎活動規定：在一次摸獎中，摸獎者先從裝有3個紅球與4個白球的袋中任意摸出3個球，再從裝有1個藍球與2個白球的袋中任意摸出1個球，根據摸出4個球中紅球與藍球的個數，設一、二、三等獎如下：
獎級 | 摸出紅、藍球個數 | 獲獎金額 |
一等獎 | 3紅1藍 | 200元 |
二等獎 | 3紅0藍 | 50元 |
三等獎 | 2紅1藍 | 10元 |
其余情況無獎且每次摸獎最多只能獲得一個獎級．
（1）求一次摸獎恰好摸到1個紅球的概率；
（2）求摸獎者在一次摸獎中獲獎金額X的分布列．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知圖①②都是表示輸出所有立方小于1 000的正整數的程序框圖,則圖中應分別補充的條件為( )
① ②
A. ①n3≥1 000? ②n3<1 000?
B. ①n3≤1 000? ②n3≥1 000?
C. ①n3<1 000? ②n3≥1 000?
D. ①n3<1 000? ②n3<1 000?
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，側面
底面
，
為正三角形，
，
，點
，
分別為線段
、
的中點，
、
分別為線段
、
上一點，且
，
.
（1）確定點的位置，使得
平面
；
（2）試問：直線
上是否存在一點
，使得平面
與平面
所成銳二面角的大小為
，若存在，求
的長；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某企業生產 
， 
兩種產品，根據市場調查與預測， 
產品的利潤與投資關系如圖（1）所示； 
產品的利潤與投資的算術平方根成正比，其關系如圖（2）所示（注：利潤和投資單位：萬元）．
（1）分別將 
， 
兩種產品的利潤表示為投資的函數關系式；
（2）已知該企業已籌集到 
萬元資金，并將全部投入 
， 
兩種產品的生產．問怎樣分配這 
萬元投資，才能使該企業獲得最大利潤?其最大利潤約為多少萬元?
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】2016年時紅軍長征勝利80周年，某市電視臺舉辦紀念紅軍長征勝利80周年知識問答，宣傳長征精神．首先在甲、乙、丙、丁四個不同的公園進行支持簽名活動，其次在各公園簽名的人中按分層抽樣的方式抽取10名幸運之星，每人獲得一個紀念品，其數據表格如下：
公園 | 甲 | 乙 | 丙 | 丁 |
獲得簽名人數 | 45 | 60 | 30 | 15 |
（Ⅰ）求此活動中各公園幸運之星的人數；
（Ⅱ）從乙和丙公園的幸運之星中任選兩人接受電視臺記者的采訪，求這兩人均來自乙公園的概率；
（Ⅲ）電視臺記者對乙公園的簽名人進行了是否有興趣研究“紅軍長征”歷史的問卷調查，統計結果如下（單位：人）：
有興趣 | 無興趣 | 合計 | |
男 | 25 | 5 | 30 |
女 | 15 | 15 | 30 |
合計 | 40 | 20 | 60 |
據此判斷能否在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為有興趣研究“紅軍長征”歷史與性別有關．
臨界值表：
| 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
參考公式： 
．
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