Question

【題目】已知函數.

（Ⅰ）若函數有兩個零點，求的取值范圍；

（Ⅱ）證明：當時，關于的不等式在上恒成立.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（Ⅰ）由題意，可利用導數法來進行求解，由，轉換為，即將問題轉化為曲線與直線有兩交點，求的取值范圍，構造函數，求函數的單調區間，再求函數的最值，從而問題可得解；

（Ⅱ）由題意，將問題轉化為：當時，不等式在上恒成立，可構造函數，并證明其最大值在區間上成立即可.

試題解析：（Ⅰ）令，∴；

令，∴，

令，解得，令，解得，

則函數在上單調遞增，在上單調遞減，∴.

要使函數有兩個零點，則函數的圖象與有兩個不同的交點，

則，即實數的取值范圍為.

（Ⅱ）∵，∴.

設， ，∴，

設，∴，則在上單調遞增，

又， ，

∴，使得，即，∴.

當時， ， ；當時， ， ；

∴函數在上單調遞增，在上單調遞減，

∴ .

設，∴，

當時， 恒成立，則在上單調遞增，

∴，即當時， ，

∴當時，關于的不等式在上恒成立.