Question

如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，PA=AB=BC=AD．E為AB中點，F為PC中點．
（Ⅰ）求證：PE⊥BC；
（Ⅱ）求二面角C-PE-A的余弦值；
（Ⅲ）若四棱錐P-ABCD的體積為4，求AF的長．

Answer 1

【答案】分析：（I）由題意PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC，利用已知BC⊥AB，利用線面垂直的判定定理得到BC⊥平面PAB，進而利用線面垂直的性質得到線線垂直；
（II）利用題中的條件建立空間直角坐標系，先寫出各個點的坐標，利用兩平面的法向量的夾角求解二面角的大小；
（III）利用方程的思想及棱錐的體積公式計算出未知變量的大小．
解答：解：（Ⅰ）證明：∵PA⊥平面ABCD，BC?平面ABCD∴PA⊥BC
∵∠ABC=90°，∴BC⊥AB，
∵PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，
∵E為AB中點，∴PE?平面PAB．
∴BC⊥PE．

（Ⅱ）建立直角坐標系A-xyz，設AB=1，則B（1，0，0），C（1，1，0），P（0，0，1），，，
由（I）知，BC⊥平面PAE，∴是平面PAE的法向量．
設平面PEC的法向量為=（x，y，z），則且
∴，=（2，-1，1）
∴，
二面角C-PE-A的余弦值為．
（Ⅲ）連接BC，設AB=a
∵∴a=2
∵△PAC是直角三角形∴．
點評：此題中點考查了線面垂直的判定及其性質，還考查了利用向量求解二面角的大小，利用方程的思想利用棱錐的體積公式建立方程進而求解．