Question

方程8x²＋6kx＋2k＋1＝0的兩根能否是一個(gè)直角三角形的兩個(gè)銳角的正弦值，若能，求出k的值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．

 

Answer 1

【答案】

原方程的兩個(gè)根不可能是一個(gè)直角三角形的兩個(gè)銳角的正弦值

【解析】設(shè)直角三角形兩銳角分別為α、β，設(shè)已知方程的兩根為x₁、x₂，

則x₁＝sinα，x₂＝sinβ＝sin＝cosα

由韋達(dá)定理得：

x₁＋x₂＝sinα＋cosα＝sin

x₁·x₂＝sinα·cosα＝sin2α

于是有，

即，∴，

易知該混合組無(wú)解．

故原方程的兩個(gè)根不可能是一個(gè)直角三角形的兩個(gè)銳角的正弦值．

[點(diǎn)評(píng)]　此題易產(chǎn)生下面錯(cuò)解．

設(shè)直角三角形的兩個(gè)銳角分別為α和β.

已知方程的兩根為x₁和x₂，則x₁＝sinα，x₂＝sinβ.

又α與β互余，∴x₂＝sin＝cosα.

由sin²α＋cos²α＝1得

x＋x＝1⇒(x₁＋x₂)²－2x₁x₂＝1.

由韋達(dá)定理得： ²－2·＝1⇒9k²－8k－20＝0.解得：k₁＝2，k₂＝－.

錯(cuò)因是忽視了一元二次方程有實(shí)根應(yīng)滿足Δ≥0，銳角的三角函數(shù)值應(yīng)為正值的條件．事實(shí)上，當(dāng)k＝2時(shí)，原方程可化為8x²＋12x＋5＝0，此時(shí)Δ<0，方程無(wú)實(shí)根．當(dāng)k＝－時(shí)，原方程化為：8x²－x－＝0，此時(shí)x₁x₂＝－，即sinαcosα＝－.∵α是銳角，∴該式顯然不成立．