Question

設f（x）是定義在R上的增函數，且對于任意的x都有f（1-x）+f（1+x）=0恒成立，如果實數m，n滿足不等式組

m＞3 f(m2-6m+23)+f(n2-8n)＜0

，則m²+n²的取值范圍為（　　）

A．（3，7）

B．（9，25）

C．（13，49）

D．（9，49）

Answer 1

分析：由f（1-x）+f（1+x）=0恒成立，可將不等式可化為f（m²-6m+23）＜f（2-n²+8n），利用f（x）的單調性，可化為關于m的整式不等式（m-3）²+（n-4）²＜4，分析（m-3）²+（n-4）²＜4的幾何意義，即可求得m²+n² 的取值范圍．

解答：解：∵對于任意的x都有f（1-x）+f（1+x）=0恒成立
∴f（1-x）=-f（1+x）
∵f（m²-6m+23）+f（n²-8n）＜0，
∴f（m²-6m+23）＜-f[（1+（n²-8n-1）]，
∴f（m²-6m+23）＜f[（1-（n²-8n-1）]=f（2-n²+8n）
∵f（x）是定義在R上的增函數，
∴m²-6m+23＜2-n²+8n
∴（m-3）²+（n-4）²＜4（m＞3）
∵（m-3）²+（n-4）²=4的圓心坐標為：（3，4），半徑為2
∴（m-3）²+（n-4）²=4（m＞3）內的點到原點距離的取值范圍為（

32+22

，5+2），即（

13

，7）
∵m²+n² 表示（m-3）²+（n-4）²=4內的點到原點距離的平方
∴m²+n² 的取值范圍是（13，49）．
故選C．

點評：本題考查函數的奇偶性與單調性，考查不等式的含義，解題的關鍵是確定半圓內的點到原點距離的取值范圍．