已知函數
在
與
時都取得極值.
（1）求
的值及
的極大值與極小值；
（2）若方程
有三個互異的實根，求
的取值范圍；
（3）若對
，不等式
恒成立，求的取值范圍.
（1）
，當
時，有極大值
，當
時，有極小值
；（2）
；（3）
或
.
解析試題分析：（1）因為函數在極值點處的導數等于0，所以若在與時都取得極值，則
，解方程組可得到的值，再由導數的正負確定函數的單調性，最后可求得的極大值與極小值；（2）若方程
有三個互異的實根，故曲線
與
有三個不同的交點，則極大值大于1，極小值小于1，從而可求的取值范圍；（3）對
，不等式恒成立，只須
，從中求解即可求出的取值范圍.
試題解析：（1）
由已知有
，解得 3分
，
由
得
或
，由
得
5分
列表如下
＋ln x.
時，求f(x)在[1，e]上的最大值和最小值；
x在[1，e]上為增函數，求正實數a的取值范圍．
，以點
為切點作函數圖像的切線
，直線
與函數
圖像及切線
分別相交于
，記
．
的通項；
的前
項和為
，求證：
．
且g(x)≤1恒成立，求實數a的取值范圍．
＋a，g(x)＝aln x－x(a≠0)．
，總有g(x1)<f(x2)成立．
＋ln x－1.
x2－(a＋1)x(a>0，a為常數)．
x2－
－
.