Question

【題目】在平面直角坐標系中，已知曲線上的動點到點的距離與到直線的距離相等．

（1）求曲線的軌跡方程；

（2）過點分別作射線、交曲線于不同的兩點、，且．試探究直線是否過定點？如果是，請求出該定點；如果不是，請說明理由．

Answer 1

【答案】(1) (2) 直線過定點．

【解析】

（1）根據題意得到，化簡得到答案.

（2）設直線的方程為，聯立方程利用韋達定理得到，，根據得到，故代入方程得到答案.

（1）設，依題意，即，

化簡得，∴曲線的軌跡方程為．

（2）直線經過定點

證明：如圖，依題意，直線斜率不能為0，所以設直線的方程為

聯立得， ①，

設、，則，．

又，∴，即，

即，

又，，∴，

∴，

依題意，直線不經過，∴，

所以，．此時代入①式恒成立．

而當時，直線方程為，即，

即直線過定點．

綜上，直線過定點．