Question

橢圓C的方程為，F₁、F₂分別為C的左、右焦點，點A的坐標為（1，1），P是C上的任意一點，給出下列結論：
①|PF₁|-|PF₂|有最大值5，②|PF₁|•|PF₂|有最大值9，③|PF₁|²+|PF₂|²有最大值18，④|PF₁|+|PA|有最小值，其中正確結論的序號是    ．

Answer 1

【答案】分析：①利用三角形兩邊之差小于第三邊可證明當點P在x軸上時，|PF₁|-|PF₂|有最大值2c，由橢圓標準方程計算焦距即可；
②利用橢圓定義知|PF₁|+|PF₂|為定值2a，再利用均值定理求積|PF₁|•|PF₂|的最大值即可；
③利用焦半徑公式設P點橫坐標為x，則|PF₁|²+|PF₂|²可轉化為關于x0的一元函數，由x的范圍即可求得|PF₁|²+|PF₂|²的最大值；
④由橢圓的定義結合三角形的性質，即可判斷
解答：解：①當P點不在x軸上時，P，F1，F2，三點構成三角形，此時|PF₁|-|PF₂|＜|F₁F₂|，
∵|F₁F₂|=4，∴|PF₁|-|PF₂|＜4，
當P點在x軸上時，|PF₁|-|PF₂|=|F₁F₂|=4，∴|PF₁|-|PF₂|≤4，即①|PF₁|-|PF₂|有最大值4，①錯誤．
②∵P點在橢圓 上，∴|PF₁|+|PF₂|=|2a=6，
∵|PF₁|＞0，|PF₂|＞0，∴|PF₁|•|PF₂|≤=9，∴|PF₁|•|PF₂|有最大值9，②正確．
③根據橢圓方程，可得橢圓的離心率為
設P點橫坐標為x，則|PF₁|=a+ex，|PF₂|=a-ex，
∴|PF₁|²+|PF₂|²=（a+ex）²+（a-ex）²=2a²+2e²x²=18+x²
∵P點在橢圓 上，∴x²≤9，∴18+x²≤26，∴PF₁|²+|PF₂|²有最大值26，
∴③錯誤，
④由橢圓的定義可知|PF₁|+|PF₂|=2a，，|PF₁|+|PA|+|F₂A|≥|PF₁|+|PF₂|
∴|PF₁|+|PA|≥|PF₁|+|PF₂|-|F₂A|=6-，所以有最小值，正確．
故答案為：②④．
點評：本題考查了橢圓的標準方程的意義，橢圓定義的應用，橢圓的幾何性質，利用均值定理和函數求最值的方法．