Question

如果30＜x＜42，16＜y＜24，則x-2y的取值范圍是

（-18，10）

；

x

y

的取值范圍是

（

5

4

，

21

8

）

．

Answer 1

分析：先作出不等式組表示的平面區域，設z=x-2y可得，y=

1

2

x-

1

2

z，則-

1

2

z表示直線x-2y-z=0在y軸上的截距，截距越大，z越小，結合函數的圖形可求z的最大與最小值，從而可求z的范圍；欲求

x

y

的取值范圍，可先求

y

x

的取值范圍，而

y

x

的幾何意義表示點（x，y）與原點連線的斜率，利用直線的斜率求其取值范圍．

解答：解：作出不等式組表示的平面區域
由z=x-2y可得，y=

1

2

x-

1

2

z，則-

1

2

z表示直線x-2y-z=0在y軸上的截距，截距越大，z越小
結合函數的圖形可知，
當直線x-2y-z=0平移到A（30，24）時，截距最大，z最小Z_min=30-2×24=-18；
當直線x-2y-z=0平移到B（42，16）時，截距最小，z最大Z_max=42-2×16=10，
則z=x-2y∈（-18，10）；

y

x

的幾何意義表示點（x，y）與原點連線的斜率，
利用直線的斜率求得其最大值k_OA=

24

30

=

4

5

，最小值為k_OB=

16

42

=

8

21

，
其取值范圍（

8

21

，

4

5

）
∴

x

y

的取值范圍是 （

5

4

，

21

8

）
故答案為：（-18，10）；（

5

4

，

21

8

）．

點評：平面區域的范圍問題是線性規劃問題中一類重要題型，在解題時，關鍵是正確地畫出平面區域，分析表達式的幾何意義，然后結合數形結合的思想，分析圖形，找出滿足條件的點的坐標，即可求出答案．