Question

在△ABC中，已知2cosAsinB=sinC，且（a+b+c）（a+b-c）=3ab，試判斷三角形的形狀．

Answer 1

分析：由已知2cosAsinB=sinC=sin（A+B），結合和差角公式可求得A=B，由（a+b+c）（a+b-c）=3aba²+b²-c²=ab，由余弦定理可得CosC=

a2+b2-c2

2ab

可求C，從而可判斷三角形的形狀

解答：解：由三角形的內角和公式可得，2cosAsinB=sinC=sin（A+B）
∴2cosAsinB=sinAcosB+sinBcosA
∴sinAcosB-sinBcosA=0
即sin（A-B）=0
∴A=B
∵（a+b+c）（a+b-c）=3ab
∴（a+b）²-c²=3ab
即a²+b²-c²=ab
由余弦定理可得CosC=

a2+b2-c2

2ab

=

1

2

∵0＜C＜π
∴C=

1

3

π
∴A=B=C=

1

3

π
故△ABC 為等邊三角形

點評：本題主要考查了綜合應用兩角和與差的三角公式及余弦定理解三角形，解題的關鍵是熟練掌握三角基本公式．