Question

收集本地區教育儲蓄信息，有一公民的儲蓄方式為：第一年末存入a₁元，以后每年末存入的數目均比上一年增加d（d＞0）元，因此，歷年所存入的教育儲蓄金數目a₁，a₂，…是一個公差為d的等差數列，與此同時，政府給予優惠的計息政策，不僅采用固定利率，而且計算復利，也不征利息稅．這就是說，如果固定年利率為p（p＞0），那么，在第n年末，第一年所存入的儲蓄金就變為a₁（1+p）^n-1，第二年所存入的儲蓄金就變為a₂（1+p）^n-2，…，以W_n表示到第n年末所累計的儲蓄金總額．
（1）寫出W_n與W_n-1（n≥2）的遞推關系式；
（2）是否存在數列{A_n}，{B_n}使W_n=A_n+B_n，其中{A_n}是一個等比數列，{B_n}是一個等差數列，說明你的理由．

Answer 1

分析：（1）根據第n年末，第一年所存入的儲蓄金就變為a₁（1+p）^n-1，第二年所存入的儲蓄金就變為a₂（1+p）^n-2，…，可求W_n與W_n-1（n≥2）的遞推關系式；
（2）根據（1）的結論，反復使用，可得W_n=a₁（1+p）^n-1+a₂（1+p）^n-2+…+a_n-1（1+p）+a_n，兩邊同乘以（1+p），利用錯位相減法求和，結合等差數列等比數列的定義，可得結論．

解答：解：（1）根據第n年末，第一年所存入的儲蓄金就變為a₁（1+p）^n-1，第二年所存入的儲蓄金就變為a₂（1+p）^n-2，…，可知W₁=a₁，W₂=W₁（1+p）+a₂，W_n=W_n-1（1+p）+a_n（n≥2）…4分
（2）W₁=a₁，W_n=W_n-1（1+p）+a_n，對n≥2反復使用上述關系式，
得W_n=W_n-1（1+p）+a_n=[W_n-2（1+p）+a_n-1]（1+p）+a_n=W_n-2（1+p）²+（1+p）a_n-1+a_n
…=W₁（1+p）^n-1+a₂（1+p）^n-2+…+a_n-1（1+p）+a_nW_n=a₁（1+p）^n-1+a₂（1+p）^n-2+…+a_n-1（1+p）+a_n①…6分
（1+p）W_n=a₁（1+p）ⁿ+a₂（1+p）^n-1+…+a_n-1（1+p）²+a_n（1+p）②
②-①pW_n=a₁（1+p）ⁿ+d（1+p）^n-1+d（1+p）^n-2…+d（1+p）-a_n=

d

p

[(1+p)n-1-p]+a1(1+p)n-an…8分
即Wn=

a1p+d

p2

(1+p)n-

d

p

n-

a1p+d

p2

如果記An=

a1p+d

p2

(1+p)n，Bn=-

d

p

n-

a1p+d

p2

，…10分
則T_n=A_n+B_n．
其中{A_n}是以

a1p+d

p2

(1+p)為首項，以（1+p）（p＞0）為公比的等比數列；{B_n}是以-

a1p+d

p2

-

d

p

為首項，-

d

p

為公差的等差數列．…14分

點評：本題的考點是數列的應用，解題的關鍵是從實際問題中抽象出數列模型，再利用數列的求和方法進行求和．判斷一個數列是否是等差（比）數列，我們有如下辦法：①定義法②通項公式法（如本題）③前n項和公式法④等差（比）中項法．