Question

(理)已知函數f(x)=(0＜x＜1)的反函數為f^-1(x)，設它在點(n,f^-1(n))(n∈N^*)處

的切線在Y軸上的截距為b_n，數列{a_n}滿足：a₁=2，a_n+1=f^-1(a_n)(n∈N^*)．

(1)求數列{a_n}的通項公式；

(2)在數列{}中，僅當n=5時，取最小值，求A的取值范圍；

(3)令函數g(x)=f^-1(x)(1+x)²，數列{cn}滿足：c₁=，c_n+1=g(cn)(n∈N^*)，求證：對于一切

n≥2的正整數，都滿足：1＜＜2．

(文)已知函數f(x)：(0＜x＜1)的反函數為f^-1(x)，數列{a_n}滿足：a₁=2，a_n+1=f^-1(a_n) (n∈N^*)．

(1)求數列{a_n}的通項公式；

(2)設函數g(x)=f^-1(x)(1+x)²在點(n，g(n))(n∈N^*)處的切線在Y軸上的截距為b_n，求數列{b_n}的通項公式；

(3)在數列{b_n+}中，僅當n=5時，b_n+取最大值，求λ的取值范圍．

Answer 1

答案：(理)(1)∵f(x)=,

∴函數f(x)=(0＜x＜1)的反函數為

f^-1(x)=(x＞0)．

則a_n+1=f^-1(a_n)=,

得+1，即=1，

∴數列{}是以2為首項、1為公差的等差數列，故a_n=.

(2)又∵[f^-1(x)]′=.

∴函數f^-1(x)在點(n，f^-1(n))(n∈N^*)處的切線方程為：y-f^-1(n)=(x-n)，

令x=0，得b_n=

∴=n²+λ(n+1)=(n+)²+λ,

僅當n=5時取最小值，只需4.5＜＜5.5，解得-11＜λ＜-9．

故A的取值范圍為(-11，-9)．

(3)∵g(x)=f^-1(x)(1+x)²=x(1+x)，

故c_n+1=g(c_n)=c_n(1+c_n)，

又∵c₁=＞0，故c_n＞0，

則,

即,

∴

=()+()+…+()

=,

又

＞

=＞1,

故1＜+…+＜2.

(文)(1)∵f(x)=,

∴函數f(x)=(0＜x＜1)的反函數為f^-1(x)=(x＞0)．

貝a_n+1=f^-1(a_n)=，得+1，即=1，

∴數列{}是以2為首項、1為公差的等差數列，故a_n=.

(2)∵g(x)=f^-1(x)(1+x)²=(1+x)²=x+x²，

∴g′(x)=1+2x，即在點(n，g(n))處切線的斜率k=g′(n)=1+2n，

∴切線方程為y-g(n)=(1+2n)(x-n)，

令x=0，得b_n=g(n)-n-2n²=-n²．

(3)b_n+=-n²+λ(n+1)=-(n)²+λ+僅在n=5時取最大值，只需4.5＜＜5.5，解得9＜λ＜11．

故λ的取值范圍為(9，11)．