Question

【題目】已知曲線，直線經過點與相交于、兩點.

(1)若且，求證： 必為的焦點；

(2)設，若點在上，且的最大值為，求的值；

(3)設為坐標原點，若，直線的一個法向量為，求面積的最大值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；（2）或；（3）.

【解析】試題分析：（1）利用兩點之間距離公式，即可求得的值，由橢圓的方程，即可求得焦點坐標，即可證必為的焦點；（2）利用兩點之間距離公式，根據二次函數的單調性，當時，取最大值，代入即可求得的值；（3）求得直線的方程，代入方程，由韋達定理，弦長公式及點到直線的距離公式，利用基本不等式的性質，即可求得面積的最大值.

試題解析：(1) ，解得，所以點

由于，

故的焦點為，所以在的焦點上.

(2)設，則

(其中)

對稱軸，所以當時， 取到最大值，

故，即，解得或

因為，所以.

(3) ,,將直線方程與橢圓方程聯立

，消去得，

其中恒成立。

設，則

設，令，則

當且僅當時，等號成立，即時，

故面積的最大值為.

【方法點晴】本題主要考查待定系數法求橢圓方程及圓錐曲線求最值，屬于難題.解決圓錐曲線中的最值問題一般有兩種方法：一是幾何意義，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來解決，非常巧妙；二是將圓錐曲線中最值問題轉化為函數問題，然后根據函數的特征選用參數法、配方法、判別式法、三角函數有界法、函數單調性法以及均值不等式法，本題（2）就是用的這種思路，利用均值不等式法求三角形最值的.