已知函數f(x)＝ln(1＋x)－x1
(Ⅰ)求f(x)的單調區間；
(Ⅱ)記f(x)在區間[0，π](n∈N*)上的最小值為bx令an＝ln(1＋n)－bx．
(Ⅲ)如果對一切n，不等式
恒成立，求實數c的取值范圍；
(Ⅳ)求證：
|
解法一： (Ⅰ)因為f(x)＝ln(1＋x)－x，所以函數定義域為(－1，＋ 由 由 (Ⅱ)因為f(x)在[0，n]上是減函數，所以bn＝f(n)＝ln(1＋n)－n， 則an＝ln(1＋n)－bn＝ln(1＋n)－ln(1＋n)＋n＝n． (i) 又lim 因此c＜1，即實數c的取值范圍是(－ (Ⅱ)由(i)知 因為[ 所以 則 解法二： (Ⅰ)同解法一． (Ⅱ)因為f(x)在 則 (ⅰ)因為 則 設 考慮 因為 所以 又因為 所以對一切 (ⅱ)由(ⅰ)知 下面用數學歸納法證明不等式 ①當n＝1時，左邊＝ ②假設當n＝k時，不等式成立．即 當n＝k＋1時， ＝ 即n＝k＋1時，不等式成立 綜合①、②得，不等式 所以 即 本小題主要考查函數的單調性、最值、不等式、數列等基本知識，考查運用導數研究函數性質的方法，考查分析問題和解決問題的能力，滿分14分． |
科目：高中數學 來源： 題型：
已知函數f(x)＝ax2－2x＋1，g(x)＝ln(x＋1)．
(1)求函數y＝g(x)－x在[0,1]上的最小值；
(2)當a≥
時，函數t(x)＝f(x)＋g(x)的圖像記為曲線C，曲線C在點(0,1)處的切線為l，是否存在a使l與曲線C有且僅有一個公共點？若存在，求出所有a的值；否則，說明理由．
(3)當x≥0時，g(x)≥－f(x)＋恒成立，求a的取值范圍．
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科目：高中數學 來源：2014屆湖北省大治二中高二3月聯考文科數學試卷（解析版） 題型：解答題
已知函數f(x)＝x3＋x－16，
(1)求曲線y＝f(x)在點(2，－6)處的切線的方程；
(2)直線l為曲線y＝f(x)的切線，且經過原點，求直線l的方程及切點坐標；
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科目：高中數學 來源：2012年陜西省高二下期第一次月考理科數學試卷（解析版） 題型：解答題
已知函數f(x)＝x3－3x及y＝f(x)上一點P(1，－2)，過點P作直線l.
(1)求使直線l和y＝f(x)相切且以P為切點的直線方程；
(2)求使直線l和y＝f(x)相切且切點異于P的直線方程．
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科目：高中數學 來源：新課標高三數學導數專項訓練（河北） 題型：解答題
已知函數f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，曲線y＝f(x)在x＝1處的切線為l：3x－y＋1＝0，當x＝時，y＝f(x)有極值．
(1)求a、b、c的值；
(2)求y＝f(x)在[－3,1]上的最大值和最小值．
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科目：高中數學 來源：新課標高三數學導數專項訓練（河北） 題型：解答題
已知函數f(x)＝x3－2x2＋ax(x∈R，a∈R)，在曲線y＝f(x)的所有切線中，有且僅有一條切線l與直線y＝x垂直．
(1)求a的值和切線l的方程；
(2)設曲線y＝f(x)上任一點處的切線的傾斜角為θ，求θ的取值范圍
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)，且f〃(x)＝
－1＝
．
＞0得－1＜x＜0，f(x)的單調遞增區間為(－1，0)；
＞
，
]2
＜
(n
N*)，
＜
N*)
上是減函數，所以
對n∈N*恒成立．所以
對n∈N*恒成立．
對n∈N*恒成立．
n∈N*，則c＜g(n)對n∈N*恒成立．
＝0，
內是減函數；則當n∈N*時，g(n)隨n的增大而減小，
＝1．
因此c≤1，即實數c的取值范圍是(－∞，1]．
，右邊＝
，左邊＜右邊．不等式成立．
成立．
．