Question

下面命題中，正確命題的個數為（　　）
①若

n

₁、

n

₂分別是平面α、β的法向量，則

n

₁∥

n

₂?α∥β；
②若

n

₁、

n

₂分別是平面α、β的法向量，則α⊥β?

n

₁•

n

₂=0；
③若

n

是平面α的法向量，

b

、

c

是α內兩不共線向量

a

=λ

b

+μ

c

，（λ，μ∈R）則

n

•

a

=0；
④若兩個平面的法向量不垂直，則這兩個平面一定不垂直．

A．1個

B．2個

C．3個

D．4個

Answer 1

分析：①由面面平行得法向量共線，反之兩平面平行或重合，由此即作出可判斷；②由面面垂直的定義及性質即可判斷；③由線面垂直的性質及向量共面定理判斷④由面面垂直的定義判斷．

解答：解：①中由α∥β可得

n

₁∥

n

₂，由

n

₁∥

n

₂可得，平面α與β可能平行，也可能重合，所以①不正確，
②α⊥β，則二面角的平面角成90°，由圓的內接四邊形對頂角互補知法向量垂直，反之當法向量垂直，則二面角成90°，由圓內接四邊形對頂角互補，知兩平面垂直．故②正確；
③由a=λb+μc，知三向量共面，則a在平面α內或與平面α平行，所以平面的法向量與直線a垂直，故③正確．
④若兩個平面的法向量不垂直，則所成角不是90°，則由圓內接四邊形對頂角互補知兩平面所成的角不是90°，故④正確．
故選C．

點評：本題主要考查用向量法來解決面面平行，面面垂直等問題，原理應從幾何法角度去理解，才能靈活準確地應用．