Question

符號[x]表示不超過x的最大整數，如[π]=3，[-1.08]=-2，定義函數{x}=x-[x]．給出下四個命題：
①函數{x}的定義域是R，值域為[0，1]
②方程{x}=

1

2

有無數個解；
③函數{x}是周期函數；
④函數{x}是增函數．其中正確命題的序號有：

 

．

Answer 1

分析：可求出函數{x}的取值范圍，即值域，可判斷①不對；
令{x}=x-[x]=

1

2

，可求出對應的x的值，且對應的有無數多個，故②正確；
根據周期函數的定義，可驗證函數{x}是周期為1的函數，從而可判③正確；
根據函數{x}的性質和單調性可知{x}在每一個單調區間上是增函數，但在整個定義域上不是增函數，故④不正確．

解答：解：函數{x}的定義域是R，但是0≤x-[x]＜1，故函數{x}的值域為{0，1），故①不對；
∵{x}=x-[x]=

1

2

，∴x=[x]+

1

2

，∴x=1.5，2.5，3.5，…，應為無數多個，故②正確；
∵{x+1}=x+1-[x+1]=x-{x}={x}，故函數{x}是周期為1的周期函數，故③正確；
函數{x}在每一個單調區間上是增函數，但在整個定義域上不是增函數，故④不正確．
故答案為：②③

點評：本題主要考查函數的基本性質--定義域、值域、單調性、周期性．考查對基礎知識的掌握程度和靈活運用．