Question

設雙曲線C：

x2

a2

-y2=1（a＞0）與直線l：y+x=1相交于兩不同點A，B，設直線l與y軸交點為P，且

PA

=

5

12

PB

，則a=

 

．

Answer 1

分析：由曲線C與直線l有兩個不同交點，得其兩方程聯立后二次方程的△＞0，借助向量相等條件，韋達定理，列出只含a的方程，再求解

解答：解：把直線與雙曲線方程聯立消去y得（1-a²）x²+2a²x-2a²=0，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），P（0，1），
∵

PA

=

5

12

PB

，
∴（x₁，y₁-1）=

5

12

（x₂，y₂-1），
求得x₁=

5

12

x₂，
∵x₁+x₂=

17

12

x₂=-

2a2

1-a2

，x₁x₂=

5

12

x₂²=-

2a2

1-a2

，
消去x₂得-

2a2

1-a2

=

289

60

，a=

17

13

故答案為：

17

13

點評：本題考查直線、雙曲線的概念性質，韋達定理、不等式、平面向量的運算，解方程等知識，考查數形結合，方程、不等式的思想方法，以及推理運算能力和綜合運用數學知識解決問題的能力．