Question

（本小題滿分13分）
已知橢圓（a＞b＞0）的焦距為4，且與橢圓有相同的離心率，斜
率為k的直線l經過點M（0，1），與橢圓C交于不同兩點A、B．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）當橢圓C的右焦點F在以AB為直徑的圓內時，求k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵焦距為4，∴c=2………………………………………………1分
又∵的離心率為……………………………… 2分
∴，∴a=，b=2………………………… 4分
∴標準方程為………………………………………6分
（2）設直線l方程：y=kx+1，A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由得……………………7分
∴x₁+x₂=，x₁x₂=
由（1）知右焦點F坐標為（2，0），
∵右焦點F在圓內部，∴＜0………………………………8分
∴（x₁ -2）（x₂-2）+ y₁y₂＜0
即x₁x₂-2（x₁+x₂）+4+k² x₁x₂+k（x₁+x₂）+1＜0…………………… 9分
∴＜0…………… 11分
∴k＜……………………………………………………………… 12分
經檢驗得k＜時，直線l與橢圓相交，
∴直線l的斜率k的范圍為（-∞，）……………………………13

略