Question

（本小題滿分14分）

設數列是公差為的等差數列，其前項和為．

（1）已知，，

（ⅰ）求當時，的最小值；

（ⅱ）當時，求證：；

（2）是否存在實數，使得對任意正整數，關于的不等式的最小正整數解為?若存在，則求的取值范圍；若不存在，則說明理由．

Answer 1

（本小題滿分14分）

設數列是公差為的等差數列，其前項和為．                               

（1）已知，，

（ⅰ）求當時，的最小值；

（ⅱ）當時，求證：；

（2）是否存在實數，使得對任意正整數，關于的不等式的最小正整數解為?若存在，則求的取值范圍；若不存在，則說明理由．

【命題意圖】本小題主要考查等差數列通項、求和與不等式等知識，考查化歸與轉化的數學思想方法，以及抽象概括能力、運算求解能力.

(1) (ⅰ) 解:  

當且僅當即時,上式取等號.

故的最大值是……………………………………………………4分

 (ⅱ) 證明: 由(ⅰ)知，

當時,，……6分

，

……………………………………8分

……………………………………9分

 (2)對,關于的不等式的最小正整數解為，

當時，；……………………10分

當時，恒有，即,

從而……………………12分                                 

當時,對,且時, 當正整數時,

有……………………13分

所以存在這樣的實數,且的取值范圍是.……………………14分