Question

(本小題滿分13分)
如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面是菱形，∠BCD＝60°，點E是BC邊的中點，AC與DE交于點O，PO⊥平面ABCD.
(Ⅰ)求證：PD⊥BC；
(Ⅱ)若AB＝6，PC＝6，求二面角P－AD－C的大小；
(Ⅲ)在(Ⅱ)的條件下，求異面直線PB與DE所成角的余弦值.

Answer 1

解：解法一：(Ⅰ)在菱形ABCD中，連接DB，則△BCD是等邊三角形.
∵點E是BC邊的中點
∴DE⊥BC.
∵PO⊥平面ABCD，
∴OD是斜線PD在底面ABCD內的射影.
∴PD⊥BC.                                         (4分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知DE⊥BC，
菱形ABCD中，AD∥BC，
∴DE⊥AD.
又∵PO⊥平面ABCD，DE是PD在平面ABCD的射影，
∴PD⊥AD.
∴∠PDO為二面角P－AD－C的平面角.
在菱形ABCD中，AD⊥DE，由(1)知，△BCD為等邊三角形，
∵點E是BC邊的中點，AC與BD互相平分，
∴點O是△BCD重心.
∵AB＝6，
又∵在等邊△BDC中，
DO＝DE＝·BC＝×6＝6.
∴OC＝OD＝6.
∵PC＝6，∴PO＝6.
∴在Rt△POD中，tan∠PDO＝＝＝1.
∴∠PDO＝.
∴二面角P－AD－C的大小為.                              (9分)
(Ⅲ)取AD中點H，連接HB，HP.
則HB∥DE.
∴HB與PB所成角即是DE與PB所成角.
連接OH，OB.
∵PO⊥平面ABCD，OH，OB?平面ABCD，
∴PO⊥OH，PO⊥OB.
在Rt△DOH中，HD＝3，OD＝6，
∴OH＝3.
在Rt△PHO中，PH＝＝.
在Rt△POB中，OB＝OC＝6，PB＝＝6.
由(Ⅱ)可知DE＝HB＝9.
設HB與PB所成角為α，
則cosα＝＝.
∴異面直線PB、DE所成角的余弦值為.                                    (13分)
解法二：(Ⅰ)同解法一；                                    (4分)
(Ⅱ)過點O作AD平行線交AB于F，以點O為坐標原點，建立如圖的坐標系.
∴A(6，－6,0)，B(3，3,0)，C(－3，3,0)，
D(0，－6,0)，P(0,0,6).
∴＝(－6，0,0)，＝(0，－6，－6).

設平面PAD的一個法向量為s＝(a，m，n).
則
即
∴
不妨取s＝(0，－1,1).
∵＝(0,0,6)是平面ADC的一個法向量，
∴cos〈s，〉＝＝.
∴二面角P－AD－C的大小為.                                 (9分)
(Ⅲ)由已知，可得點E(0,3,0).
∴＝(3，3，－6)，＝(0,9,0).
∴cos〈，〉＝＝.
即異面直線PB、DE所成角的余弦值為.  

略