Question

（12分）如圖，已知橢圓=1（a＞b＞0）過點（1，），離心率為，左、右焦點分別為F1、F2. 點P為直線l:x+y=2上且不在x軸上的任意一點，直線PF1和PF2與橢圓的交點分別為A、B和C、D，O為坐標原點.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）設直線PF1、PF2的斜率分別為k1、k2, 證明：=2；

 

Answer 1

【答案】

略

【解析】（1）因為橢圓過點（1,），e=. 所以，.

又a2=b2+c2，

所以a=,b=1, c=1.

（2）（i）證明：方法一：由于F1(－1,0)、F2(1,0)，PF1、PF2的斜率分別為k1、k2，且點P不在x軸上.

所以k1≠k2，k1≠0，k2≠0.

又直線PF1，PF2的方程分別為y=k1(x+1),y=k2(x－1),

聯立方程解得

所以P.

因此2k1k2+3k1－k2=0，即，結論成立.

方法二：設P(x0,y0)，

則k1=, k2=,

因為點P不在x軸上，所以y0≠0.

又x0+y0=2,

所以