Question

設T_n為數列{a_n}的前n項乘積，滿足Tn=1-an(n∈N*)
（1）設bn=

1

Tn

，求證：數列{b_n}是等差數列；
（2）設cn=2n•b_n，求證數列{c_n}的前n項和S_n；
（3）設An=

T

e 1

+

T

e 2

+…

T

e n

，求證：an+1-

1

2

＜An≤-

1

4

．

Answer 1

分析：（1）由T_n=1-a_n，an=

Tn

Tn-1

，n≥2，知Tn=1-

Tn

Tn-1

，從而

1

Tn

-

1

Tn-1

=1，由此能證明數列{b_n}是等差數列．
（2）由（1）知b_n=2+（n-1）=n+1，從而c_n=（n+1）•2ⁿ，故S_n=2•2+3•2²+…+（n+1）•2ⁿ，利用錯位相減法能求出數列{c_n}的前n項和S_n．
（3）由Tn=

1

bn

=

1

n+1

，知n≥2時，an=

Tn

Tn-1

=

n

n+1

，由a1=

1

2

，知an=

n

n+1

，n∈N* ，由此利用放縮法能夠證明an+1-

1

2

＜An≤-

1

4

．

解答：解：（1）∵T_n=1-a_n，an=

Tn

Tn-1

，n≥2，
∴Tn=1-

Tn

Tn-1

，從而

1

Tn

-

1

Tn-1

=1，（n≥2）
∴b_n-b_n-1=1，（n≥2）
∵T₁=a₁=1-a₁，
∴a1=

1

2

，b1=

1

T1

=

1

a1

=2，
∴{b_n}是以2為首項，1為公差的等差數列．
（2）由（1）知b_n=2+（n-1）=n+1，從而c_n=（n+1）•2ⁿ，
∴S_n=2•2+3•2²+…+（n+1）•2ⁿ，
2S_n=2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ+（n+1）•2ⁿ⁺¹，
兩式相減，得-S_n=4+（2²+2³+…+2ⁿ）-（n+1）•2ⁿ⁺¹
=4+

4(1-2n-1)

1-2

-（n+1）•2ⁿ⁺¹
=-n•2ⁿ⁺¹，
∴S_n=n•2ⁿ⁺¹．
（3）∵Tn=

1

bn

=

1

n+1

，
∴n≥2時，an=

Tn

Tn-1

=

n

n+1

，
∵a1=

1

2

，∴an=

n

n+1

，n∈N* ，
An=T12+T22+…+Tn2
=

1

22

+

1

32

+…+

1

(n+1)2

＞

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

(n+1)(n+2)

=

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

=

1

2

-

1

n+2

=an+1-

1

2

，
∴An＞an+1-

1

2

，
又∵當n≥2時，An=T12+T22+…+Tn2
=

1

22

+

1

32

+…+

1

(n+1)2

=

1

22

+

1

32

+…+

1

(n+1)2

＜

1

22

+

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

n(n+1)

=

1

22

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=

1

4

+

1

2

-

1

n+1

=an-

1

4

，
an+1-

1

2

＜An≤-

1

4

．

點評：本題考查等差數列的證明，考查前列的前n項和的求法，考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意錯位相減法和放縮法的合理運用．