Question

如圖所示，圓錐的軸截面為等腰直角△SAB，Q為底面圓周上一點．
①若QB的中點為C，OH⊥SC，求證OH⊥平面SBQ；
②如果∠AOQ=60°，QB=2

3

，求此圓錐的全面積．

Answer 1

分析：①連接OC，可得OC⊥QB，結合SO⊥平面ABQ得SO⊥BQ，從而得到BQ⊥平面SOC．由OH?平面SOC得BQ⊥OH，由已知OH⊥SC，結合線面垂直判定定理，可得OH⊥平面SBQ；
②根據△BOQ中，∠BOQ=120°，算出OQ=OB=2，從而得到圓錐底面半徑為2，結合△SAB是等腰直角三角形，得到高SO=2，母線SA=2

2

，由此結合圓面積公式和圓錐的側面積計算公式，即可算出此圓錐的全面積．

解答：解：①連接OC，則
∵OQ=OB，C為QB的中點，∴OC⊥QB
∵SO⊥平面ABQ，BQ?平面ABQ
∴SO⊥BQ，結合SO∩OC=0，可得BQ⊥平面SOC
∵OH?平面SOC，∴BQ⊥OH
∵OH⊥SC，SC、BQ是平面SBQ內的相交直線
∴OH⊥平面SBQ；
②∵∠AOQ=60°，QB=2

3

，
∴△BOQ中，∠BOQ=120°，可得OQ=OB=

3

3

QB=2
∵圓錐的軸截面為等腰直角△SAB，
∴圓錐的底面半徑為2，高SO=2，可得母線SA=2

2

因此，圓錐的側面積為S_側=π×2×2

2

=4

2

π
∴此圓錐的全面積為S_側+S_底=4

2

π+π×2²=（4+4

2

）π

點評：本題給出特殊的圓錐，求證線面垂直并求圓錐的表面積，著重考查了空間垂直的證明和圓錐的表面積計算等知識，屬于中檔題．