Question

如圖，已知三棱柱A₁B₁C₁—ABC的底面是邊長為2的正三角形，側棱A₁A與AB、AC均成45°角，且A₁E⊥B₁B于E，A₁F⊥CC₁于F.
(1)求點A到平面B₁BCC₁的距離；
(2)當AA₁多長時，點A₁到平面ABC與平面B₁BCC₁的距離相等.

Answer 1

(1)所求距離為2     (2)當AA₁=時滿足條件.

(1)∵BB₁⊥A₁E，CC₁⊥A₁F，BB₁∥CC₁
∴BB₁⊥平面A₁EF
即面A₁EF⊥面BB₁C₁C
在Rt△A₁EB₁中，
∵∠A₁B₁E=45°，A₁B₁=a
∴A₁E=a,同理A₁F=a,又EF=a，∴A₁E=a
同理A₁F=a,又EF=a
∴△EA₁F為等腰直角三角形，∠EA₁F=90°
過A₁作A₁N⊥EF，則N為EF中點，且A₁N⊥平面BCC₁B₁
即A₁N為點A₁到平面BCC₁B₁的距離
∴A₁N=
又∵AA₁∥面BCC₁B，A到平面BCC₁B₁的距離為
∴a=2，∴所求距離為2
(2)設BC、B₁C₁的中點分別為D、D₁，連結AD、DD₁和A₁D₁，則DD₁必過點N，易證ADD₁A₁為平行四邊形.
∵B₁C₁⊥D₁D,B₁C₁⊥A₁N
∴B₁C₁⊥平面ADD₁A₁
∴BC⊥平面ADD₁A₁
得平面ABC⊥平面ADD₁A₁，過A₁作A₁M⊥平面ABC，交AD于M，
若A₁M=A₁N，又∠A₁AM=∠A₁D₁N，∠AMA₁=∠A₁ND₁=90°
∴△AMA₁≌△A₁ND₁,∴AA₁=A₁D₁=,即當AA₁=時滿足條件.