Question

雙曲線中心在原點，一條漸近線方程為y=

2

x，準線方程為x=-

3

3

．
（1）求雙曲線方程；
（2）若雙曲線上存在關于y=kx+1對稱的二點，求k范圍．

Answer 1

分析：（1）根據漸近線方程為y=

2

x，可假設方程為x2-

y2

2

=λ(λ＞0)，再利用準線方程，可求雙曲線方程；
（2）設雙曲線上關于y=kx+1對稱二點為M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），其中點為Q（x₀，y₀），將MN的方程為y=-

1

k

x+n代入x2-

y2

2

=1，再利用Q（x₀，y₀）在直線y=kx+1，及判別式可求k范圍．

解答：解：（1）設雙曲線方程為x2-

y2

2

=λ(λ＞0)
由準線方程知

3

3

=

λ

3λ

⇒λ=1
∴雙曲線方程為x2-

y2

2

=1
（2）設雙曲線上關于y=kx+1對稱二點為M（x₁，y₁）、N（x₂，y₂），其中點為Q（x₀，y₀）
設MN的方程為y=-

1

k

x+n代入x2-

y2

2

=1
得(2-

1

k2

)x2+

2n

k

x-n2-2=0
由

2- 1 k2 ≠0 △= 4n2 k2 +4(2- 1 k2 )(n2+2)＞0

⇒n2＞

1

k2

-2且k≠±

2

2

又Q（x₀，y₀）在直線y=kx+1
∴

-2nk2

1-2k2

=

nk2

1-2k2

+1
∴n=

2k2-1

3k2

代入①式得22k⁴-13k²+1＞0
∴k2＞

1

2

或 0＜k2＜

1

11

且k≠±

2

2

∴k∈(-∞，-

2

2

)∪(-

11

11

，0)∪(0，

11

11

)∪(

2

2

，+∞)

點評：本題以雙曲線為載體，考查雙曲線的標準方程，考查直線與雙曲線的位置關系，考查對稱性，有一定的綜合性．