Question

定義：若對于給定區間D內任意的實數x₁和x₂都有f()≥[f(x₁)+f(x₂)]，則稱函數f(x)是區間D上的上凸函數。上凸函數有如下的性質：

若在上凸函數f(x)的圖象上依次取n個(n≥3)點P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂），…，P_n（x_n，y_n），則凸n邊到P₁P₂P₃…P_n的生心G（，）必在函數y=f(x)的圖象下方或圖象上。

運用上述定義或性質證明。

（1）f(x)=lgx在區間（0，+∞）上是上凸函數；

（2）設x₁，x₂，…，x_n為正實數，則≥。

Answer 1

答案：
解析：

證明：（1）設x1，x2，…，xn為正實數，則 f()－[f(x1)+f(x2)] =1g－(1gx1+1gx2) =1g－1g =1g ∵x1，x2，…，xn為正實數， ∴x1+x2≥2，即≥1。 又y=f(x)在（0，+∞）上是增函數，∴lg()≥0， ∴f()≥[f(x1)+f(x2)]， 根據定義，函數y=1gx是區間（0，+∞）上的上凸函數。 （2）由（1）知，f(x)=1gx在區間（0，+∞）上是上凸函數。 設P1（x1，y1），P2（x2，y2），…，Pn（xn，yn），依次是上凸y=1gx上的n個（n≥3）點，根據上凸函數的性質，有 f()≥[f(x1)+f(x2)+…+f(xn)]， 即1g≥1g(x1x2…xn)， 亦即1g≥1g。 因為y=1gx在（0，+∞）上是增函數， 所以≥。