Question

已知有窮數列A：a₁，a₂，…，a_n，（n≥2）．若數列A中各項都是集合{x|-1＜x＜1}的元素，則稱該數列為數列．對于數列A，定義如下操作過程T：從A中任取兩項a_i，a_j，將

ai+aj

1+aiaj

的值添在A的最后，然后刪除a_i，a_j，這樣得到一個n-1項的新數列A₁（約定：一個數也視作數列）．若A₁還是數列，可繼續實施操作過程T，得到的新數列記作A₂，…，如此經過k次操作后得到的新數列記作A_k．
（Ⅰ）設A：0，

1

2

，

1

3

…請寫出A₁的所有可能的結果；
（Ⅱ）求證：對于一個n項的數列A操作T總可以進行n-1次；
（Ⅲ）設A：-

5

7

，-

1

6

，-

1

5

，-

1

4

，

5

6

，

1

2

，

1

3

，

1

4

，

1

5

，

1

6

…求A₉的可能結果，并說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）直接按定義來操作，每次取兩個數代入計算即可求出A₁的所有可能的結果；
（Ⅱ）先通過作差得到每次操作后新數列仍是T數列；再根據每次操作中都是增加一項，刪除兩項即可得到結論；
（Ⅲ）先定義運算：a⊙b=

a+b

1+ab

，并證明這種運算滿足交換律和結合律；再結合（Ⅱ）可知A₉中僅有一項，再按定義先求出A₅，綜合即可得到A₉的可能結果．

解答：解：（Ⅰ）直接按定義來操作，當取0，

1

2

時代入計算可得：A1；

1

3

，

1

2

；
當取0，

1

3

時可得A₁：

1

2

，

1

3

；
當取

1

2

，

1

3

時，可得A₁：0，

5

7

．
故有如下的三種可能結果：A1；

1

3

，

1

2

；A₁：

1

2

，

1

3

；A₁：0，

5

7

．…（3分）
（Ⅱ）因為對?a，b∈{x|-1＜x＜1}，有

a+b

1+ab

-1=

-(a-1)(b-1)

1+ab

＜0且

a+b

1+ab

-(-1)=

(a+1)(b+1)

1+ab

＞0
所以

a+b

1+ab

∈{x|-1＜x＜1}，
即每次操作后新數列仍是T數列．
又由于每次操作中都是增加一項，刪除兩項，
所以對T數列A每操作一次，項數就減少一項，
所以對n項的T數列A可進行（n-1）次操作（最后只剩下一項）…（7分）
（Ⅲ）由（Ⅱ）可知A₉中僅有一項．
對于滿足a，b∈{x|-1＜x＜1}的實數a，b定義運算：a⊙b=

a+b

1+ab

，
下面證明這種運算滿足交換律和結合律．
因為a⊙b=

a+b

1+ab

，且b⊙a=

b+a

1+ba

，所以a⊙b=b⊙a，即該運算滿足交換律；
因為a⊙（b⊙c）=a⊙

b+c

1+bc

=

a+ b+c 1+bc

1+a• b+c 1+bc

=

a+b+c+abc

1+ab+bc+ac

且（a⊙b）⊙c=

a+b

1+ab

c=

a+b 1+ab +c

1+ a+b 1+ab •c

=

a+b+c+abc

1+ab+ac+bc

所以a⊙（b⊙c）=（a⊙b）⊙c，即該運算滿足結合律．
所以A₉中的項與實施的具體操作過程無關   …．…．（12分）
選擇如下操作過程求A₉：
由（Ⅰ）可知

1

2

⊙

1

3

=

5

7

；
易知-

5

7

⊙

5

7

=0，-

1

4

⊙

1

4

=0，-

1

5

⊙

1

5

=0，-

1

6

⊙

1

6

=0；
所以A₅：

5

6

，0，0，0，0．；
易知A₅經過4次操作后剩下一項為

5

6

．
綜上可知：A₉：

5

6

．…（14分）

點評：本題是一道綜合性很強的題，解題時要認真審題，理解定義，并會用新定義來解題，仔細解答，避免錯誤．