Question

在直角坐標系xOy中，若角α的始邊為x軸的非負半軸，終邊為射線l：y=2

2

x（x≥0），點P，Q分別是角α始邊、終邊上的動點，且PQ=4．
（1）求sin(α+

π

6

)的值；
（2）求△POQ面積最大值及點P，Q的坐標；
（3）求△POQ周長的取值范圍．

Answer 1

考點：基本不等式在最值問題中的應用,基本不等式,兩角和與差的正弦函數

專題：解三角形,不等式的解法及應用

分析：（1）可以利用射線方程求出，三角函數值，利用兩角和的正弦函數求解sin(α+

π

6

)的值即可；
（2）設出PQ坐標，利用PQ²=（a-b）²+8b²=16，通過基本不等式求出ab的最大值，即可求△POQ面積最大值及點P，Q的坐標；
（3）設OP=x，OQ=y，利用三角形兩邊之和大于第三邊推出x+y+4＞8，利用余弦定理，得到16=x2+y2-

2

3

xy，通過基本不等式求出x+y≤4

3

，即可求△POQ周長的取值范圍．

解答： 解：（1）由射線l的方程為y=2

2

x，∴tan=2

2

，
可得sinα=

2 2

3

，cosα=

1

3

，…（2分）
故sin(α+

π

6

)=

2 2

3

×

3

2

+

1

3

×

1

2

=

1+2 6

6

．…（4分）
（2）設P(a，0)，Q(b，2

2

b)(a＞0，b＞0)．
在△POQ中因為PQ²=（a-b）²+8b²=16，
即16=a²+9b²-2ab≥6ab-2ab=4ab，所以ab≤4∴S△POQ=

2

ab≤4

2

．當且僅當a=3b，即a=2

3

，b=

2 3

3

取得等號．
所以△POQ面積最大時，點P，Q的坐標分別為P(2

3

，0)，Q(

2 3

3

，

4 6

3

)．
（3）設OP=x，OQ=y，由三角形兩邊之和大于第三邊，可得x+y+4＞8，
由余弦定理可得：PQ²=OQ²+OP²-2OP•OQcosα，
可得16=x2+y2-

2

3

xy=(x+y)2-

8

3

xy≥

1

3

(x+y)2，當且僅當x=y時等號成立．
（x+y）²≤48，x+y≤4

3

，x+y+4≤4

3

+4，
所以△POQ周長的范圍是(8，4

3

+4]．

點評：本題考查解析法求解三角形的問題，余弦定理的應用，基本不等式在最值中的應用，考查計算能力．