Question

設a,b,c為任意三角形三邊長，I=a+b+c,S=ab+bc+ca,試證：I²＜4S.

Answer 1

證明略

證明 由I²=（a+b+c）²
=a²+b²+c²+2(ab+bc+ca)
=a²+b²+c²+2S,
∵a,b,c為任意三角形三邊長，
∴a＜b+c,b＜c+a,c＜a+b,
∴a²＜a(b+c),b²＜b(c+a),c²＜c(a+b)
即(a²-ab-ac)+(b²-bc-ba)+(c²-ca-cb)＜0
∴a²+b²+c²-2(ab+bc+ca)＜0
∴a²+b²+c²＜2S
∴a²+b²+c²+2S＜4S.
∴I²＜4S.