Question

如圖，正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為a，線段B₁C上有一個動點P線段A₁C₁有兩個動點E、F，且EF=

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a，現(xiàn)有如下四個結論：1點E、F在棱A₁C₁上運動時，三棱錐B-CEF的體積為定值；2點P在直線B₁C上運動時，直線A₁P與平面A₁C₁D所成角的大小不變；3點P在直線B₁C上運動時，直線AD₁與A₁P所成角的大小不變；4點M是底面ABCD所在平面上的一點，且到直線AD與直線CC₁的距離相等，則M點的軌跡是拋物線．
其中正確結論的序號是

 

．

Answer 1

分析：1：體積為定值，看底面面積和高的乘積是否是定值；
2：直線與平面所成的角不變，看直線與平面的關系，平面是否確定，直線是怎樣的；
3：直線與直線的夾角，看這兩條直線的位置關系，平行，垂直，是否滿足異面直線的定義；
4：軌跡問題，轉化到平面進行考慮即可．

解答：解：1：點E、F在棱A₁C₁上運動，由于EF的長度不變，
B到平面EFC的距離不變，所以三棱錐B-CEF的體積為定值；正確．
2：點P在直線B₁C上運動時，平面A₁C₁D是確定的平面，
而直線A₁P是動直線，所以直線A₁P與平面A₁C₁D所成角的大小不變；這是錯誤的．
3：點P在直線B₁C上運動時，因為直線AD₁與平面A₁B₁CD是垂直的，
所以直線AD₁與A₁P所成角的大小是90°，是不變的；正確．
4：點M是底面ABCD所在平面上的一點，點M到直線CC₁的距離，就是M到C的距離，
M到直線AD與直線CC₁的距離相等，則M點的軌跡滿足拋物線的定義；正確．
故答案為：1、3、4

點評：本題考查棱柱的結構特征，命題真假的判定，涉及平面解析幾何知識，考查線線角，線面角，是難題．