Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為a的正方形，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=

2

2

AD，若E、F分別為PC、BD的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）求二面角B-PD-C的正切值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用線面平行的判定定理證明EF∥PA，即可．（Ⅱ）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量求二面角B-PD-C的正切值．

解答：解：方法1：（Ⅰ）證明：連結(jié)AC，在正方形ABCD中，F(xiàn)為BD中點(diǎn)∴F為AC中點(diǎn)
又E是PC中點(diǎn)，在△CPA中，EF∥PA…（3分）
且PA⊆平面PAD，EF?平面PAD∴EF∥平面PAD…．（5分）
（Ⅱ） 解：設(shè)PD的中點(diǎn)為M，連結(jié)EM，MF，則EM⊥PD
易知EF⊥面PDC，EF⊥PD，PD⊥面EFM，PD⊥MF
∴∠EMF是二面角B-PD-C的平面角…．（10分）
Rt△FEM中，EF=

1

2

PA=

2 a

4

，EM=

1

2

CD=

1

2

a，所以tan∠EMF=

EF

EM

=

2 a 4

1 2 a

=

2

2

．
故所求二面角的正切值為

2

2

…．（14分）
方法2：另解：如圖，取AD的中點(diǎn)O，連結(jié)OP，OF．
∵PA=PD，∴PO⊥AD．
∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
∴PO⊥平面ABCD，
而O，F(xiàn)分別為AD，BD的中點(diǎn)，
∴OF∥AB，又ABCD是正方形，故OF⊥AD．
∵PA=PD=

2

2

AD，∴PA⊥PD，OP=OA=

a

2

．
以O(shè)為原點(diǎn)，直線OA，OF，OP為x，y，z軸建立空間直線坐標(biāo)系，
則有A(

a

2

，0，0)，F(0，

a

2

，0)，D(-

a

2

，0，0)，P(0，0，

a

2

)，B(

a

2

，a，0)，C(-

a

2

，a，0)．
∵E為PC的中點(diǎn)，∴E(-

a

4

，

a

2

，

a

4

)．
（Ⅰ）易知平面PAD的法向量為

OF

=(0，

a

2

，0)而

EF

=(

a

4

，0，-

a

4

)，
且

OF

•

EF

=(0，

a

2

，0)•(

a

4

，0，-

a

4

)=0，∴EF∥平面PAD．

（Ⅱ）∵

PA

=(

a

2

，0，-

a

2

)，

CD

=(0，a，0)∴

PA

•

CD

=(

a

2

，0，-

a

2

)•(0，a，0)=0，
∴

PA

⊥

CD

，從而PA⊥CD，又PA⊥PD，PD∩CD=D，
∴PA⊥平面PDC，而PA?平面PAD，∴平面PDC⊥平面PAD，
所以平面PDC的法向量為

PA

=(

a

2

，0，-

a

2

)．
設(shè)平面PBD的法向量為

n

=(x，y，z)．∵

DP

=(

a

2

，0，

a

2

)，

BD

=(-a，a，0)，
∴由

n

•

DP

=0，

n

•

BD

=0可得

a 2 •x+0•y+ a 2 •z=0 -a•x+a•y+0•z=0

，令x=1，則y=1，z=-1，
故

n

=(1，1，-1)，
∴cos＜

n

，

PA

＞=

n • PA

| n || PA |

=

a

2 2 a× 3

=

6

3

，
即二面角B-PD-C的余弦值為

6

3

，二面角B-PD-C的正切值為

2

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查空間直線與平面平行的判定定理以及空間二面角大小的求法，要求熟練掌握相關(guān)的判定定理．