Question

在平面直角坐標系xOy中，已知圓心在第二象限，半徑為2

2

的圓C與直線y=x相切于坐標原點O．橢圓

x2

a2

+

y2

9

=1與圓C的一個交點到橢圓兩焦點的距離之和為10．
（1）求圓C的方程；
（2）試探求C上是否存在異于原點的點Q，使Q到橢圓右焦點F的距離等于線段OF的長．若存在，請求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設出圓的標準方程，由相切和過原點的條件，建立方程求解．
（2）要探求是否存在異于原點的點Q，使得該點到右焦點F的距離等于|OF|的長度4，我們可以轉化為探求以右焦點F為圓心，半徑為4的圓（x─4）²+y²=8與（1）所求的圓的交點數．

解答：解：（1）設圓心坐標為（m，n）（m＜0，n＞0），
則該圓的方程為（x-m）²+（y-n）²=8已知該圓與直線y=x相切，
那么圓心到該直線的距離等于圓的半徑，則

|m-n|

2

=2

2

即|m-n|=4①
又圓與直線切于原點，將點（0，0）代入得m²+n²=8②
聯立方程①和②組成方程組解得

m=-2 n=2

故圓的方程為（x+2）²+（y-2）²=8；
（2）|a|=5，∴a²=25，則橢圓的方程為

x2

25

+

y2

9

=1
其焦距c=

25-9

=4，右焦點為（4，0），那么|OF|=4．
通過聯立兩圓的方程

(x-4)2+y2=16 (x+2)2+(y-2)2=8

，解得x=

4

5

，y=

12

5

．
即存在異于原點的點Q（

4

5

，

12

5

），
使得該點到右焦點F的距離等于|OF|的長．

點評：本題考查的是圓的位置關系和圓錐曲線的基本概念的理解．對于題中第二小問中，探求是否存在異于原點的點Q，使得該點到右焦點F的距離等于|OF|的長度4，轉化為探求以右焦點F為頂點，半徑為4的圓（x─4）²+y²=8與（1）所求的圓的交點數．可使問題簡化．