Question

已知曲線y=ax³-bx（a≠0）上有兩個不同的點A、B，且過A、B兩點的切線都垂直于直線AB.

（1）試判斷A、B兩點是否關于原點對稱，并說明理由.

（2）求出a、b所滿足的條件.

Answer 1

解：（1）由y=ax³-bx,得y′=3ax²-b.?

設A、B兩點坐標分別為（x₁,y₁）、（x₂,y₂）（x₁≠x₂）.??

由題意,過A、B兩點的切線平行，

∴3ax₁²-b=3ax₂²-b，即x₁²=x₂²，由于x₁≠x₂,∴x₁=-x₂.?

又∵y₁=ax₁³-bx₁=-ax₂³+bx₂=-（ax₂³-bx₂）=-y₂.?

∴A、B兩點關于原點對稱.

（2）由（1）知,直線AB必過原點,?

∴直線AB的斜率k==ax₁²-b.而過A的切線與直線AB垂直.

∴（3ax₁²-b）·（ax₁²-b）=-1,即3a²x₁⁴-4abx₁²+b²+1=0.?

令x₁²=t,則關于t的方程3a²t²-4abt+b²+1=0在（0,+∞）上有根.?

此方程有兩正根,其充要條件為:

4a²b²-3a²（1+b²）≥0且＞0,?

∴得ab＞0且 ｜b｜≥a＞0,b≥或a＜0,b≤-.