Question

【題目】設，函數（是自然對數的底數）．

（1）證明：存在一條定直線與曲線和都相切；

（2）若對恒成立，求的值

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

試題分析：（1）此題證明關鍵是找出一條公切線，先求導數，，，，正巧，即這兩個函數圖象有公共點，且此點處兩函數的導數相等，這點處的切線就是公切線；（2）若對恒成立，即，記，由于，因此是的最大值，又，在附近，記，因此必有，從而得，接著檢驗時，最大值．

試題解析：（1）證明：函數的導數分別為，

注意到對任意，

故直線與曲線與都相切

（2）設函數，則對任意，都有．

因對任意，都有，故為的極大值點

，

記，則，

注意到在的附近，恒有，

故要使為的極大值點，

必須（否則，若，則在的附近，恒有，從而，于是不是的極值點；同理，若，則也不是的極值點），即，從而

又當時，，

則在上，，在上，，

于是在上遞增，在上遞減，

故．

綜上所述，