Question

（本小題滿分12分）某化妝品生產企業為了占有更多的市場份額，擬在2010年世博會期間進行一系列促銷活動，經過市場調查和測算，化妝品的年銷量x萬件與年促銷費t萬元之間滿足成反比例，如果不搞促銷活動，化妝品的年銷量只能是1萬件，已知2010年生產化妝品的設備折舊、維修等固定費用為3萬元，每生產1萬件化妝品需要再投入32萬元的生產費用，若將每件化妝品的售價定為：其生產成本的150%與平均每件促銷費的一半之和，則當年生產的化妝品正好能銷完。
（1）將2010年利潤y（萬元）表示為促銷費t（萬元）的函數；
（2）該企業2010年的促銷費投入多少萬元時，企業的年利潤最大？
（注：利潤=銷售收入—生產成本—促銷費，生產成本=固定費用+生產費用）

Answer 1

（1）y=（2）

（1）由題意：……………………………………………1分
將代入得：…………………………………………………2分
…………………………………………3分
當年生產（萬件）時
年生產成本=年生產費用+固定費用=
當銷售（萬件）時，年銷售收入=〔〕+=+
由題意，生產萬件化妝品正好銷完，
∵年利潤=年銷售收入—年生產成本—促銷費
+——
=…………………………………………6分
（2）方法一：
…………………………………………9分
當時，，當時.
則在上單調遞增，在上單調遞減. …………………………11分
故當時，取最大值.
所以當促銷費定在7萬元時，企業的年利潤最大.………………………………12分
方法二：
………………………………10分
當且僅當時取等號.即t=7時，取最大值. ……………………………11分
所以當促銷費定在7萬元時，企業的年利潤最大. ………………………………12分