Question

如圖，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC=BC=4，四邊形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥BA，BD=

1

2

AE=2，O、M分別為CE、AB的中點．
（1）求證：OD∥平面ABC；
（2）在棱EM上是否存在N，使ON⊥平面ABDE？若能，請指出點N的位置，并加以證明；若不能，請說明理由；
（3）求二面角O-ED-M的大小．

Answer 1

分析：（1）取AC中點F，連OF、BF，通過證明四邊形ODBF為平行四邊形，得出OD∥FB，從而證出OD∥平面ABC
（2）存在．當N是EM中點時即可．先由CM⊥AB，結合面面垂直的性質定理得出BC⊥平面EDM，再由ON是△EMC的中位線，得出ON∥CM，所以有ON⊥平面ABDE．
（3）法1：過N作NG⊥ED于點G，連接OG、ON，可以證明∠OGN即所求二面角的平面角．在△OGN求解即可．
 法2：如圖建立直角坐標系．分別求出面OED 的法向量，平面MED的法向量，利用向量的夾角求出二面角O-ED-M的大小．

解答：解：（1）取AC中點F，連OF、BF，

由于O為CE的中點，∴OF是△CAE的中位線，∴OF∥AE，OF=

1

2

AE，
又BD∥AE，BD=

1

2

AE=2，∴OF∥BD，OF=BD，
∴四邊形ODBF為平行四邊形，
∴OD∥FB，又OD?平面ABC，FB?平面ABC，
∴OD∥平面ABC；
 （2）存在．當N是EM中點時即可．

由已知，ON是△EMC的中位線，∴ON∥CM
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴CM⊥AB，
又平面ABDE⊥平面ABC，根據面面垂直的性質定理得出
CM⊥平面EDM，而ON與CM平行，從而可得ON⊥平面EDM．
（3）法1：過N作NG⊥ED于點G，連接OG、ON，

由（2）ON⊥平面EDM，ED?平面EDM，
∴ON⊥ED，ON∩NG=N，
∴ED⊥ONG，ED⊥OG，
則∠OGN即所求二面角的平面角．
在Rt△ONG中，由題計算可知ON=

2

，OG=2，
又∠ONG是直角，所以∠OGN=

π

4

，故二面角O-ED-M的大小是

π

4

．
法2：如圖建立直角坐標系．

可知D（0，4，2），E（4，0，4），O（2，0，2），M（2，2，0），由（2）知N（3，1，2），所以平面EMD的法向量

NO

=(-1，-1，0)，
設平面OED的法向量為

n

=(x，y，1)，
又知

OE

=(2，0，2)，

OD

=(-2，4，0)，由

n

•

OE

=0
及

n

•

OD

=0得

2x+2=0 -2x+4y=0

計算可得

x=-1 y=- 1 2

所以

n

=(-1，-

1

2

，1)，cos＜

n

，

NO

＞=

2

2

，二面角O-ED-M的大小是

π

4

．

點評：本題考查空間直線和平面平行，直線和平面垂直的判定，二面角大小求解．考查空間想象、推理論證能力．利用空間向量的方法，能降低思維難度，思路相對固定，是人們研究解決幾何體問題又一有力工具．