Question

已知函數(shù)f(x)=ax+

x-2

x+1

（a＞1），求證：
（1）函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為增函數(shù)；
（2）方程f（x）=0沒(méi)有負(fù)數(shù)根．

Answer 1

分析：（1）證明函數(shù)的單調(diào)性，一個(gè)重要的基本的方法就是根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義；
（2）對(duì)于否定性命題的證明，可用反證法，先假設(shè)方程f（x）=0有負(fù)數(shù)根，經(jīng)過(guò)層層推理，最后推出一個(gè)矛盾的結(jié)論．

解答：證明：（1）設(shè)-1＜x₁＜x₂，
則f(x1)-f(x2)=ax1+

x1-2

x1+1

-ax2-

x2-2

x2+1

=ax1-ax2+

x1-2

x1+1

-

x2-2

x2+1

=ax1-ax2+

3(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

，
∵-1＜x₁＜x₂，∴x₁+1＞0，x₂+1＞0，x₁-x₂＜0，
∴

3(x1-x2)

(x1+1)(x2+1)

＜0；
∵-1＜x₁＜x₂，且a＞1，∴ax1＜ax2，∴ax1-ax2＜0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，即f（x₁）＜f（x₂），
∴函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為增函數(shù)；
（2）假設(shè)x₀是方程f（x）=0的負(fù)數(shù)根，且x₀≠-1，則ax0+

x0-2

x0+1

=0，
即ax0=

2-x0

x0+1

=

3-(x0+1)

x0+1

=

3

x0+1

-1，①
當(dāng)-1＜x₀＜0時(shí)，0＜x₀+1＜1，∴

3

x0+1

＞3，
∴

3

x0+1

-1＞2，而由a＞1知ax0＜1．∴①式不成立；
當(dāng)x₀＜-1時(shí)，x₀+1＜0，∴

3

x0+1

＜0，∴

3

x0+1

-1＜-1，而ax0＞0．
∴①式不成立．綜上所述，方程f（x）=0沒(méi)有負(fù)數(shù)根．

點(diǎn)評(píng)：（1）函數(shù)的單調(diào)性就是隨著x的變大，y在變大就是增函數(shù)，y變小就是減函數(shù)，具有這樣的性質(zhì)就說(shuō)函數(shù)具有單調(diào)性，符號(hào)表示：就是定義域內(nèi)的任意取x₁，x₂，且x₁＜x₂，比較f（x₁），f（x₂）的大小 （當(dāng)f（x₁）＜f（x₂）則是增函數(shù)，當(dāng)f（x₁）＞f（x₂）則是減函數(shù)）；
（2）方程的根，就是指使方程成立的未知數(shù)的值．對(duì)于結(jié)論是否定形式的命題，往往用反證法證明．