Question

如圖，定點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為A（0，27），B（0，3），一質(zhì)點(diǎn)C從原點(diǎn)出發(fā)，始終沿x軸的正方向運(yùn)動(dòng)，已知第1分鐘內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)了1個(gè)單位，之后每分鐘內(nèi)比上一分鐘內(nèi)多運(yùn)動(dòng)了2個(gè)單位，記第n分鐘內(nèi)質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)了a_n個(gè)單位，此時(shí)質(zhì)點(diǎn)的位置為（C_n，0）．
（Ⅰ）求a_n、C_n的表達(dá)式；
（Ⅱ）當(dāng)n為何值時(shí)，tan∠AC_nB取得最大，最大值為多少？

Answer 1

分析：（I）確定第n分鐘內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)了a_n=1+2（n-1）=2n-1個(gè)單位，從而可求C_n的表達(dá)式；
（Ⅱ）利用差角的正切公式，結(jié)合基本不等式，即可求得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）由條件可知，第n分鐘內(nèi)，質(zhì)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)了a_n=1+2（n-1）=2n-1個(gè)單位，…（2分）       
所以C_n=1+3+…+（2n-1）=

n(1+2n-1)

2

=n²．…（4分）
（Ⅱ）∵tan∠AC_nO=

27

n2

，tan∠BC_nO=

3

n2

，…（6分）
∴tan∠AC_nB=tan（∠AC_nO-∠BC_nO）=

27 n2 - 3 n2

1+ 27 n2 • 3 n2

=

24

n2+ 81 n2

．…（8分）
≤

24

2 n2• 81 n2

=

4

3

…（10分）
當(dāng)且僅當(dāng)n2=

81

n2

，即n=3時(shí)，等號(hào)成立．…（11分）
∴n=3時(shí)，tan∠AC_nB最大，最大值為

4

3

．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查差角的正切公式，考查基本不等式的運(yùn)用，屬于中檔題．