Question

（2010•安徽模擬）若f（n）為n²+1（n∈N^*）的各數位上的數字之和，如：14²+1=197，1+9+7=17，則f（14）=17，記f₁（n）=f（n），f₂（n）=f（f₁（n）），…，f_k+1（n）=f（f_k（n））（k∈N^*），則f₂₀₁₀（8）=

8

．

Answer 1

分析：由已知中f（n）為n²+1（n∈N^*）的各位數字之和，f₁（n）=f（n），f₂（n）=f[f₁（n）]，…，f_k+1（n）=f[f_k（n）]，我們可以逐步求出f₁（8），f₂（8），f₃（8），f₄（8），…的值，并分析其值變化的規律，f_n（8）是以3為周期的周期數列，進而求出結果．

解答：解：由題意
f₁（8）=f（8），∵64+1=65，∴6+5=11，∴f₁（8）=11
f₂（8）=f[f₁（8）]=f（11），∵121+1=122，∴1+2+2=5，∴f₂（8）=5
f₃（8）=f[f₂（8）]=f（5），∵25+1=26，∴2+6=8，∴f₃（8）=8
f₄（8）=f[f₃（8）]=f（8）=f₁（8）
…
所以f₁（8）=f₄（8）=…=f_3n+1（8）=11
f₂（8）=f₅（8）=…=f_3n+2（8）=5
f₃（8）=f₆（8）=…=f_3n（8）=8
∴f₂₀₁₀（8）=f₃（8）=8
故答案為：8

點評：本題考查了新定義型的題．關于新定義型的題，關鍵是理解定義，并會用定義來解題．根據已知中的新定義，逐步求出f₁（8），f₂（8），f₃（8），f₄（8），…的值，并分析其值變化的周期性規律，是解答本題的關鍵．