Question

已知是定義在上的奇函數，且，若，有恒成立.
（1）判斷在上是增函數還是減函數，并證明你的結論；
（2）若對所有恒成立，求實數的取值范圍。

Answer 1

（1）增函數，證明詳見解析；（2）或或

試題分析：（1）要判斷函數的單調性一般可用增函數和減函數的定義或利用導函數判斷，由于本題沒有函數解析式，再結合題目特點，適于用定義判斷，解決問題的關鍵是對照增函數和減函數的定義，再結合奇函數的條件，怎樣通過適當的賦值構造出與和相關的式子，再判斷符號解決，通過觀察，只要令即可；(2)不等式恒成立問題一般要轉化為函數的最值問題，先將原問題轉化為對任意成立，再構造函數，問題又轉化為任意恒成立，此時可對的系數的符號討論，但較為繁瑣，較為簡單的做法是只要滿足且即可.
試題解析：（1）設且，則，是奇函數
由題設知
且時 ，
即在上是增函數
（2）由（1）知，在上是增函數，且 
要，對所有恒成立，需且只需
即成立，
令，對任意恒成立 需且只需滿足
，或或