Question

【題目】已知數列{an}是首項為a1= ，公比q= 的等比數列，設bn+2=3 an（n∈N*），數列{cn}滿足cn=anbn ．
（1）求證：{bn}是等差數列；
（2）求數列{cn}的前n項和Sn；
（3）若cn≤ +m﹣1對一切正整數n恒成立，求實數m的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）證明：由題意知，an=（ ）n．

∵ ，

∴b1=1

∴bn+1﹣bn=3 an+1﹣3 an=3 =3 q=3

∴數列{bn}是首項為1，公差為3的等差數列

（2）解：由（1）知，an=（ ）n．bn=3n﹣2

∴Cn=（3n﹣2）×（ ）n．

∴Sn=1× +4×（ ）2+…+（3n﹣2）×（ ）n，

于是 Sn=1×（ ）2+4×（ ）3+…（3n﹣2）×（ ）n+1，

兩式相減得 Sn= +3×[（ ）2+（ ）3+…+（ ）n）﹣（3n﹣2）×（ ）n+1，

= ﹣（3n+2）×（ ）n+1，

∴Sn= ﹣ （ ）n

（3）解：∵Cn+1﹣Cn=（3n+1）×（ ）n+1﹣（3n﹣2）×（ ）n=9（1﹣n）×（ ）n+1，

∴當n=1時，C2=C1=

當n≥2時，Cn+1＜Cn，即C2=C1＞C3＞C4＞…＞Cn

∴當n=1時，Cn取最大值是

又

∴ ≥

即m2+4m﹣5≥0解得m≥1或m≤﹣5

【解析】（1）根據等比數列的通項公式可求得an ， 代入 求得bn+1﹣bn為常數，進而判斷出數列{bn}是等差數列．（2）由（1）可分別求得an和bn ， 進而求得Cn進而用錯位相減法進行求和．（3）把（2）中的Cn ， 代入Cn+1﹣Cn結果小于0，進而判斷出當n≥2時，Cn+1＜Cn ， 進而可推斷出當n=1時，Cn取最大值，問題轉化為 ≥ ，求得m的取值范圍．
【考點精析】本題主要考查了等差關系的確定和數列的前n項和的相關知識點，需要掌握如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差等于同一個常數，即－=d ，（n≥2，n∈N）那么這個數列就叫做等差數列；數列{an}的前n項和sn與通項an的關系才能正確解答此題．