已知橢圓
的焦距為2，且過點
.
（1）求橢圓C的方程；
（2）設橢圓C的左右焦點分別為
，
，過點的直線
與橢圓C交于
兩點.
①當直線的傾斜角為
時，求
的長；
②求
的內切圓的面積的最大值，并求出當的內切圓的面積取最大值時直線的方程.
（1）橢圓C的方程為
；（2）（1）
的長為
；（2）當
的內切圓的面積取最大值時直線的方程為
.
解析試題分析：（1）由已知得
，且
，聯立可求得橢圓方程；
（2）（1）聯立橢圓與直線方程，由弦長公式可直接求出的長；（2）設直線的方程為
，與橢圓方程聯立消去
，得
，而
；
利用均值不等式和函數單調性的性質可得當
時，
有最大值3，這時的內切圓面積的最大值為
，直線的方程為.
試題解析：（1）由已知，得，且，解得
，
故橢圓C的方程為； 4分
（2）①由
，消去得
， 6分
則
； 9分
②設直線的方程為，由
，得
，顯然
，
設
，則有，
設的內切圓半徑為
，由
可知，
當最大時，也最大，的內切圓面積也最大.
由
12分
令
，則
，且
，則
，
令
，則
，從而
在區間
上單調遞增，故有
所以
，即當
，
時，有最大值3，即，
這時的內切圓面積的最大值為，直線的方程為. 14分
考點：橢圓的基本性質、直線與橢圓的位置關系、函數與方程思想.
名師點撥卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
在平面直角坐標系xOy中，拋物線C的頂點在原點，焦點F的坐標為(1，0)．
(1)求拋物線C的標準方程；
(2)設M、N是拋物線C的準線上的兩個動點，且它們的縱坐標之積為－4，直線MO、NO與拋物線的交點分別為點A、B，求證：動直線AB恒過一個定點．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
的兩焦點在
軸上, 且兩焦點與短軸的一個頂點的連線構成斜邊長為2的等腰直角三角形
（1）求橢圓的方程；
（2）過點
的動直線
交橢圓C于A、B兩點，試問：在坐標平面上是否存在一個定點Q，使得以AB為直徑的圓恒過點Q?若存在求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，F1、F2是橢圓
＝1(a>b>0)的左、右焦點，點M在x軸上，且
＝
，過點F2的直線與橢圓交于A、B兩點，且AM⊥x軸，
·
＝0.
(1)求橢圓的離心率；
(2)若△ABF1的周長為
，求橢圓的方程．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C：
＝1(a＞b＞0)的離心率為
，F為橢圓的右焦點，M、N兩點在橢圓C上，且
＝λ
(λ＞0)，定點A(－4，0)．
(1)求證：當λ＝1時，
⊥
；
(2)若當λ＝1時，有
·
＝
，求橢圓C的方程．.
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓C的左、右焦點坐標分別是(-
,0),(,0),離心率是
.直線y=t與橢圓C交于不同的兩點M,N,以線段MN為直徑作圓P,圓心為P.
(1)求橢圓C的方程;
(2)若圓P與x軸相切,求圓心P的坐標;
(3)設Q(x,y)是圓P上的動點,當t變化時,求y的最大值.
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經過點
，一個焦點為
．
的方程；
與
軸交于點
，與橢圓
兩點，線段
的垂直平分線與
，求
的取值范圍．
x，△AOB的面積為6
＝1有相同的焦點，直線y＝
x為C的一條漸近線．求雙曲線C的方程．