Question

設(shè){a_n}是公比大于1的等比數(shù)列，S_n為數(shù)列{a_n}的前n項和．已知S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4構(gòu)成等差數(shù)列．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）令b_n=lna_3n+1，n=1，2，…，求數(shù)列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）由{a_n}是公比大于1的等比數(shù)列，S₃=7，且a₁+3，3a₂，a₃+4構(gòu)成等差數(shù)列，我們不難構(gòu)造方程組，解方程組即可求出相關(guān)基本量，進而給出數(shù)列{a_n}的通項公式．
（2）由b_n=lna_3n+1，n=1，2，…，我們易給出數(shù)列{b_n}的通項公式，分析后可得：數(shù)列{b_n}是一個等差數(shù)列，代入等差數(shù)列前n項和公式即可求出T_n

解答：解：（1）由已知得：

a1+a2+a3=7 (a1+3)+(a3+4) 2 =3a2.

解得a₂=2．
設(shè)數(shù)列{a_n}的公比為q，由a₂=2，
可得a1=

2

q

，a3=2q．
又S₃=7，可知

2

q

+2+2q=7，
即2q²-5q+2=0，
解得q1=2，q2=

1

2

由題意得q＞1，
∴q=2
∴a₁=1．故數(shù)列{a_n}的通項為a_n=2^n-1．
（2）由于b_n=lna_3n+1，n=1，2，
由（1）得a_3n+1=2³ⁿ
∴b_n=ln2³ⁿ=3nln2又b_n+1-b_n=3ln2_n
∴{b_n}是等差數(shù)列．
∴T_n=b₁+b₂++b_n
=

n(b1+bn)

2

=

n(3ln2+3nln2)

2

=

3n(n+1)

2

ln2．
故Tn=

3n(n+1)

2

ln2．

點評：解答特殊數(shù)列（等差數(shù)列與等比數(shù)列）的問題時，根據(jù)已知條件構(gòu)造關(guān)于基本量的方程，解方程求出基本量，再根據(jù)定義確定數(shù)列的通項公式及前n項和公式，然后代入進行運算．