Question

學校為了使運動員順利參加運動會,招募了8名男志愿者和12名女志愿者，這20名志愿者的身高如下莖葉圖（單位：cm）：若身高在180cm以上（包括180cm）定義為“高個子”，身高在180cm以下（不包括180cm）定義為“非高個子”，且只有“女高個子”才能擔任“禮儀小姐”.

男				女
		8	16	5	8	9
8	7	6	17	2	3	5	5	6
7	4	2	18	0	1	2
		1	19	0

（Ⅰ）用分層抽樣的方法從“高個子”和“非高個子”中抽取5人，如果從這5人中隨機選2人，那么至少有1人是“高個子”的概率是多少？
（Ⅱ）若從所有“高個子”中隨機選3名志愿者，用表示所選志愿者中能擔任“禮儀小姐”的人數，試寫出的分布列，并求的數學期望.

Answer 1

（Ⅰ）至少有1人是“高個子”的概率是；（Ⅱ）的分布列如下：

	0	1	2	3

所以的數學期望.

試題分析：（I）根據莖葉圖，確定“高個子”，“非高個子”的人數，利用用分層抽樣的方法，可得每個人被抽中的概率，求至少有1人是“高個子”的概率，常常利用對立事件，即求沒有1人是“高個子”的概率，從而得所求的概率；（Ⅱ）由于從所有“高個子”中選3名志愿者，用ξ表示所選志愿者中能擔任“禮儀小姐”的人數，利用離散型隨機變量的定義及題意可知ξ的取值為0，1，2，3，在利用古典概型的概率公式求出每一個值對應事件的概率，由期望的公式求出即可．
試題解析：（Ⅰ）根據莖葉圖可知，這20名志愿者中有“高個子”8人，“非高個子”12人，用分層抽樣的方法從中抽出5人，則每個人被抽到的概率為，所以應從“高個子”中抽人，從“非高個子”中抽人.     2分
用事件A表示“至少有一名‘高個子’被選中”，則它的對立事件表示“沒有一名‘高個子’被選中”，則,
因此至少有1人是“高個子”的概率是；    6分
（Ⅱ）依題意知，所選志愿者中能擔任“禮儀小姐”的人數的所有可能為0,1,2,3.
, ,
， ，  10分
因此，的分布列如下：

	0	1	2	3

所以的數學期望.    12分