Question

已知函數f（x）=（x²+ax+a）e^x（x∈R）
（Ⅰ）當a=1時，求f（x）的單調區間；
（Ⅱ）若a≤2，且f（x）的極大值為3，求出a的值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）當a=1時，f′（x）=（x²+3x+2）e^x，令f′（x）=0，得x₁=-1，x₂=-2，列表討論能求出f（x）的增區間和減區間．
（Ⅱ）由f（x）=（x²+ax+a）e^x（x∈R），知f′（x）=[x²+（2+a）x+2a]e^x，令f′（x）=0，得x₁=-a，x₂=-2，由a≤2，且f（x）的極大值為3，能求出實數a的值．

解答：解：（Ⅰ）當a=1時，f（x）=（x²+x+1）e^x，
∴f′（x）=（2x+1）e^x+（x²+x+1）e^x
=（x²+3x+2）e^x，
令f′（x）=0，得x₁=-1，x₂=-2，
列表討論

x	（-∞，-2）	-2	（-2，-1）	-1	（-1，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

∴f（x）的增區間是（-∞，-2），（-1，+∞）；減區間是（-2，-1）．
（Ⅱ）∵f（x）=（x²+ax+a）e^x（x∈R），
∴f′（x）=（2x+a）e^x+（x²+ax+a）e^x
=[x²+（2+a）x+2a]e^x，
令f′（x）=0，得x₁=-a，x₂=-2，
∵a≤2，∴-a≥-2，列表討論

x	（-∞，-2）	-2	（-2，-a）	-a	（-a，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	↑	極大值	↓	極小值	↑

∴x=-2時，f（x）取極大值f（-2）=（4-2a+a）e^-2=（4-a）e^-2，
∵a≤2，且f（x）的極大值為3，
∴（4-a）e^-2=3，
∴a=4-3e²．

點評：本題考查函數的單調區間的求法，考查利用函數的極大值求實數a．解題時要認真審題，仔細解答，注意分類討論思想和等價轉化思想及導數性質的合理運用．