Question

函數f（x）是定義在[0，1]上的增函數，滿足f(x)=2f(

x

2

)且f（1）=1，在每個區間(

1

2i

，

1

2i-1

]（i=1，2…）上，y=f（x）的圖象都是斜率為同一常數k的直線的一部分．
（1）求f（0）及f(

1

2

)，f(

1

4

)的值，并歸納出f(

1

2i

)(i=1，2，…)的表達式
（2）設直線x=

1

2i

，x=

1

2i-1

，x軸及y=f（x）的圖象圍成的矩形的面積為a_i（i=1，2…），記S(k)=

lim

n→∞

(a1+a2+…+an)，求S（k）的表達式，并寫出其定義域和最小值．

Answer 1

分析：（1）f（0）=2f（0），得f（0）=0及f（1）=1歸納總結得f（

1

2i

）=

1

2i

即可；
（2）
當

1

2i

＜x≤

1

2i-1

時f(x)=

1

2i-1

+k(x-

1

2i-1

)ai=

1

2

[

1

2i-1

+

1

2i-1

+k(

1

2i

-

1

2i-1

)](

1

2i-1

-

1

2i

)=(1-

k

4

)

1

22i-1

(i=1，2，)
所以{a_n}是首項為

1

2

(1-

k

4

)，公比為

1

4

的等比數列，所以S(k)=

lim

n→∞

(a1+a2+…+an)=

1 2 (1- k 4 )

1- 1 4

=

2

3

(1-

k

4

)S（k）的定義域為0＜k≤1，當k=1時取得最小值即可．

解答：解：（1）由f（0）=2f（0），得f（0）=0，
由f(1)=2f(

1

2

)及f（1）=1，得f(

1

2

)=

1

2

f(1)=

1

2

，
同理，f(

1

4

)=

1

2

f(

1

2

)=

1

4

，
歸納得f(

1

2i

)=

1

2i

(i=1，2，…)，
（2）當

1

2i

＜x≤

1

2i-1

時f(x)=

1

2i-1

+k(x-

1

2i-1

)ai=

1

2

[

1

2i-1

+

1

2i-1

+…+k(

1

2i

-

1

2i-1

)](

1

2i-1

-

1

2i

)=(1-

k

4

)

1

22i-1

(i=1，2，…)，
所以{a_n}是首項為

1

2

(1-

k

4

)，公比為

1

4

的等比數列，
所以S(k)=

lim

n→∞

(a1+a2+…+an)=

1 2 (1- k 4 )

1- 1 4

=

2

3

(1-

k

4

)S（k）的定義域為0＜k≤1，當k=1時取得最小值

1

2

．

點評：本小題主要考查函數、數列等基本知識，考查分析問題和解決問題的能力．