Question

設(shè)M是把坐標(biāo)平面上的點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到2倍，縱坐標(biāo)伸長到3倍的伸壓變換．

(1)求矩陣M的特征值及相應(yīng)的特征向量；

(2)求逆矩陣M－1以及橢圓＝1在M－1的作用下的新曲線的方程．

 

Answer 1

（1）（2）x2＋y2＝1.

【解析】由題意M＝，

(1)由|M－λE|＝0得，λ1＝2，λ2＝3，當(dāng)λ1＝2，

∴y＝0，取x＝1；當(dāng)λ2＝3，

∴x＝0，取y＝1.

所以，特征值為2和3，特征值2對應(yīng)的特征向量，特征值3對應(yīng)的特征向量.

(2)由逆矩陣公式得：M－1＝，

設(shè)P(x0，y0)是橢圓＝1上任意一點(diǎn)P在M－1下對應(yīng)P′(x，y)，則＝，

∴所以，橢圓＝1在M－1的作用下的新曲線的方程為

x2＋y2＝1.