Question

在平面幾何中有：Rt△ABC的直角邊分別為a，b，斜邊上的高為h，則

1

a2

+

1

b2

=

1

h2

．類比這一結論，在三棱錐P-ABC中，PA、PB、PC兩兩互相垂直，且PA=a，PB=b，PC=c，此三棱錐P-ABC的高為h，則結論為

 

．

Answer 1

分析：立體幾何中的類比推理主要是基本元素之間的類比：平面?空間，點?點或直線，直線?直線或平面，平面圖形?平面圖形或立體圖形，故本題由平面上的直角三角形中的邊與高的關系式類比立體中兩兩垂直的棱的三棱錐中邊與高的關系即可．

解答：解：∵PA、PB、PC兩兩互相垂直，∴PA⊥平面PBC．
由已知有：PD=

bc

b2+c2

，h=PO=

a•PD

a2+PD2

，
∴h2=

a2b2c2

a2b2+b2c2+c2a2

，即

1

a2

+

1

b2

+

1

c2

=

1

h2

．
故答案為：

1

a2

+

1

b2

+

1

c2

=

1

h2

．

點評：類比推理是指依據兩類數學對象的相似性，將已知的一類數學對象的性質類比遷移到另一類數學對象上去．其思維過程大致是：觀察、比較 聯想、類推 猜測新的結論．