Question

在△ABC中，a，b，c分別為角A，B，C的對邊，且a，b，c成等比數(shù)列．（1）求∠B的范圍；（2）求y=2sin²B+sin（2B+

π

6

）的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）因為a，b，c成等比數(shù)列，所以b²=ac．根據(jù)余弦定理，得cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

．
由此能求出∠B的范圍．
（2）y=2sin²B+sin（2B+

π

6

）=1-cos2B+sin2Bcos

π

6

+cos2Bsin

π

6

=1+sin（2B-

π

6

）．由此能求出y=2sin²B+sin（2B+

π

6

）的取值范圍．

解答：解：（1）因為a，b，c成等比數(shù)列，所以b²=ac．
根據(jù)余弦定理，得cosB=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-ac

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

．
又因為0＜B＜

π

2

，所以0＜B≤

π

3

．
所以∠B的范圍是（0，

π

3

]．
（2）y=2sin²B+sin（2B+

π

6

）=1-cos2B+sin2Bcos

π

6

+cos2Bsin

π

6

，
=1+sin2Bcos

π

6

-cos2Bsin

π

6

=1+sin（2B-

π

6

）．
因為0＜B≤

π

3

，所以-

π

6

＜2B-

π

6

≤

π

2

，
所以-

1

2

＜sin（2B-

π

6

）≤1，所以

1

2

＜y≤2．
所以y=2sin²B+sin（2B+

π

6

）的取值范圍是（

1

2

，2]．

點評：本題考查數(shù)列和三角函數(shù)的綜合，解題時要認(rèn)真審題，注意挖掘三角函數(shù)的恒等變換．